y

0

‖ ,

{\displaystyle O(h^{4})}

− ) f ( を覚えてて、公式を以下のように書き換えると明らかになる。, 台形公式は、選点法である。選点法はすべて陰的ルンゲ=クッタ法であるけど、陰的ルンゲ=クッタ法がすべて選点法であるわけではない[20]。, 選点法の中では、ガウス求積に基づいたガウス・ルジャンドル法(英語版)が一番次数の高い方法である。s 段ガウス・ルジャンドル法の次数は 2s となる(よって、任意に高い次数を持つ方法を構造できるようになる)[21]。例として、2段ガウス・ルジャンドル法は次の配列で与えられる。, 数値分析における安定性は、それぞれ異なる定義が複数存在する。ルンゲ=クッタ法の安定性を反映できる概念は、主に以下の二つである。, 線型テスト方程式

これは厳密解$y(x)=y_0e^{\lambda x}$の$x_0$周りのテイラー展開. n 2 h

f b

の t に関する微分を取って y' を f(t,y) に置き換えると, となる。厳密解を y(t) とする。上記式を用いて y(tn+1) の tn に関するテイラー展開を考える, 2次精度を持つ条件は、局所誤差 しかしテスト方程式は線形なので, 連立一次方程式を解き, さらにクラメールの公式を使うことで, 下記の安定性関数を求めることができます(参考文献[1], P42, 命題3.2). ‖ z

t

, λ 2 21 $$ y 2 です.

数値解析においてルンゲ=クッタ法(英: Runge–Kutta method)とは、初期値問題に対して近似解を与える常微分方程式の数値解法に対する総称である。この技法は1900年頃に数学者カール・ルンゲとマルティン・クッタによって発展された。, 一連のルンゲ=クッタ公式の中で最も広く知られているのが、古典的ルンゲ=クッタ法 (RK4、もしくは単に狭義の ルンゲ=クッタ法、英: the (classical) Runge–Kutta method) などと呼ばれる4次の公式である。, 但し、y(t) が近似的に求めたい未知関数であり、その t における勾配は f(t, y) によって t 及び y(t) の関数として与えられている。時刻 t0 における初期値は y0 で与えられている。, 今、時刻 tn における値 yn = y(tn) が既知のとき、十分に小さなステップ幅 h に対して yn+1, tn+1 を以下の式で与えると、yn+1 は y(tn+1) の 4次精度の近似になっている。このステップを逐次的に繰り返すことによって、初期値 y0 から任意の時刻 tn における近似値 yn が求められる。, である[1][2]。次の値 (yn+1) は、現在の値 (yn) に増分を加えたものであり、増分は勾配の推定値に間隔 h を乗じたものになっている。勾配の推定値は、k1, ..., k4 の4つの勾配の重み付け平均で求める。k1, ..., k4 のそれぞれの勾配は、特定の (t, y) に対する f によって与えられ、以下のように解釈できる。, 重み付き平均では、中央の勾配に対して大きな重みを用いる。シンプソン則を用いた平均と同等の形になる[3]。, RK4は4次の方法である。厳密解とRK4のテイラー展開が4次の項まで一致し、1ステップの推定誤差は {\displaystyle y'=f(x,y)} =

が成立するとき、h が小さすぎて大きくするほうが効率が良い。よって新しい刻み幅 h のとき、そのルンゲ゠クッタ公式は p 次精度を持つといい、p を次数 (または位数) と呼ぶ。p 次のルンゲ゠クッタ公式は、誤差の大きさの条件に誤差の表式を代入し、係数の条件を求めることによって得られる。例えば、2段の陽的方法が2次精度を持つための係数に対する条件は、 このような性質が陽的ルンゲ-クッタ法に比べて, 陰的ルンゲ-クッタ法の安定性が高い要因になっていると思われます. である。上記の条件が満たされるので、ガウス・ルジャンドル法はA-安定であることがわかる[27]。故に任意に高い次数を持つ、A-安定なルンゲ=クッタ法が存在する。比べて、A-安定性を持つ線型多段法の次数は2以下である[28]。, 以上のことから、陰的ルンゲ=クッタ法は陽的方法より優れる安定性を持つこともわかる。, A-安定性という概念は線型自励方程式 ここで, $I$は単位行列で, $b^T=(b_1,\dots,b_s)$, $A=(a_{ij})_{i,j=1}^s$, $\mathbb{1} = (1,\dots,1)^T$です.

− =

マルティン・ヴィルヘルム・クッタ(Martin Wilhelm Kutta、ドイツ語: [ˈkʊta]、1867年11月3日 - 1944年12月25日)は、ドイツの数学者。, 上部シレジア、ピチェン(現ビチナ、ポーランド)出身。1885年から1890年までブレスラウ大学に通い、1894年までミュンヘンで勉強を続けそこでWalther Franz Anton von Dyckの助手となった。1898年から半年間ケンブリッジ大学で過ごした[1]。1899年から1909年までも再度ミュンヘンのvon Dyckの助手として働き、1909年から1910年までフリードリヒ・シラー大学イェーナの非常勤教授であった。1910年から1912年までアーヘン工科大学の教授であり、1912年からシュトゥットガルト大学の教授になり、1935年の退官までその職にあった。, 1901年、常微分方程式を数値的に解くのに使われるルンゲ=クッタ法を共同開発した。空気力学におけるジュコーフスキー・クッタの翼(en:Zhukovsky–Kutta aerofoil)、クッタ・ジュコーフスキーの定理、クッタの条件(英語版)でも知られる。1944年、ドイツのFürstenfeldbruckで亡くなった。, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kutta.html, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=マルティン・クッタ&oldid=75539715.

n

b

が成立するとき、そのルンゲ=クッタ法は B-安定 という。 ここで、yn と zn はそれぞれの初期値に対する数値解である。 − f 1 を満たす方法が広く用いられ、総称して 陽的ルンゲ゠クッタ法 (ERK、英: explicit Runge–Kutta methods) と呼ぶ。そうでないものを 陰的ルンゲ゠クッタ法 (IRK、英: implicit Runge–Kutta methods) と呼ぶ。, 近似値 yn を yn+1 から計算するときに発生する誤差の大きさが

{\displaystyle \langle f(x,y)-f(x,z),y-z\rangle \leq 0} b + ⟩ またp次の陰的ルンゲ-クッタ法では, 安定性関数が有理関数(パデ近似関数)となりましたが, この有理関数をテイラー展開すると, 厳密解のテイラー展開とp次まで一致しました.

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