数列パズルです。徐々に難しくなってきます。 でも、安心してください。レベル分けされた解説で誰でも理解できます!! レッツ、チャレンジ! 記事を読む前に四択形式で力試しする(Googleフォーム) 記事を読む前に記述形式で力試しする(Googleフォーム) 問題「数がある規則で … 面白い性質と規則性を持った数列です。. この記事では、階差数列の意味や公式(階差数列の和を使った一般項の求め方)についてわかりやすく解説していきます。, 漸化式の解き方なども説明していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!, 数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、以下のように表すことができます。, 以下の例のように、数列 \(\{a_n\}\) の規則性がわかりにくい場合でも、階差数列をとると規則性が見えてくることがあります。, \begin{align}\bf{\color{salmon}{a_n = a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k}}\end{align}, 「数列 \(\{a_n\}\) の規則性はよくわからないけれど、階差数列 \(\{b_n\}\) は等差数列または等比数列になっている!」という場合に、この公式で数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めることができます。, 数列 \(\{a_n\}\) の階差数列 \(\{b_n\}\) は、以下のように表すことができましたね。, つまり、\(\bf{a_1 +}\) (\(\bf{b_1}\) から \(\bf{b_{n − 1}}\) までの和) であることがわかりますね。, \(\begin{align} a_n &= a_1 + b_1 + b_2 + \cdots + b_{n − 1} \\ &= \color{red}{a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k} \end{align}\), シグマの和の範囲を \(1\) ~ \(n\) と間違えてしまう人も多いので、公式の成り立ちをよく理解しておきましょう!(正しくは \(1\) ~ \(n − 1\)), 階差数列ではシグマの計算を多用するので、公式を忘れたという方は復習しておきましょう。, \(\{b_n\}\) は、初項 \(5\)、公差 \(2\) の等差数列であるから、, \(\begin{align} b_n &= 5 + 2(n − 1) \\ &= 2n + 3 \end{align}\), 階差数列の一般項がわかれば、あとは先ほどの公式を使って数列 \(\{a_n\}\) の一般項が求められます。, 階差数列の公式が、\(n \geq 2\) という条件があることに注意しましょう。, 初項 \(a_1\) の値には階差数列が関係ないので、この公式で求めた一般項が初項 \(a_1\) にも当てはまるとは限りません。, よって、一般項を求めたあとは \(n = 1\) を代入して、与えられた初項と一致するかを確認するのがルールです。, \(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2k + 3) \\ &= 6 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n + 3(n − 1) \\ &= 6 + n^2 − n + 3n − 3 \\ &= n^2 + 2n + 3 \end{align}\), \(\bf{a_{n + 1} = a_n + f(n)}\) (\(f(n)\) は \(n\) の多項式)の形で表された漸化式は、「階差型」と呼ばれます。, \(a_n\) を移項すると、\(\bf{a_{n + 1} − a_n = f(n)}\)となり、\(f(n)\) が数列 \(\{a_n\}\) の階差数列であると見ることができますね。, 漸化式 \(\bf{a_{n + 1} = a_n + f(n)}\) で示される数列 \(\{a_n\}\) は、, 初項 \(\bf{a_1}\) で、階差数列 \(\bf{b_n = f(n)}\) をもつ数列である。, また、階差型を含むさまざまなパターンの漸化式については以下の記事を参考にしてくださいね!, \(\begin{align} b_n &= 1 + 6(n − 1) \\ &= 6n − 5 \end{align}\), \(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (6k − 5) \\ &= 1 + 6 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n − 5(n − 1) \\ &= 1 + 3n^2 − 3n − 5n + 5 \\ &= 3n^2 − 8n + 6 \end{align}\), \(3 \cdot 1^2 − 8 \cdot 1 + 6 = 1 = a_1\) より、, \(\{a_n\}\) の階差数列を調べてみると、\(1, 2, 5, 10, 17, \cdots\) となり、等差でも等比でもないようです。, さらに、数列 \(\{b_n\}\) の階差数列を \(\{c_n\}\) とすると、, \(\{c_n\}\) は初項 \(1\)、公差 \(2\) の等差数列であるから, \(\begin{align} c_n &= 1 + 2(n − 1) \\ &= 2n − 1 \end{align}\), \(\begin{align} b_n &= b_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2k − 1) \\ &= 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n − (n − 1) \\ &= 1 + n^2 − n − n + 1 \\ &= n^2 − 2n + 2 \end{align}\), \(1^2 − 2 \cdot 1 + 2 = 1 = b_1\) より、\(n = 1\) のときも成り立つ。, \(= \displaystyle a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (k^2 − 2k + 2)\), \(= 1 + \displaystyle \frac{1}{6} (n − 1)n(2n − 1) \\ \,\,\,\,\,\,\, − 2 \cdot \displaystyle \frac{1}{2} (n − 1)n +  2(n − 1)\), \(= 1 + \displaystyle \frac{1}{6} (2n^3 − 3n^2 + n) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, − n^2 + n + 2n − 2\), \(= \displaystyle \frac{2n^3 − 9n^2 + 19n − 6}{6}\), \(\displaystyle \frac{2 \cdot 1^3 − 9 \cdot 1^2 + 19 \cdot 1 − 6}{6} = 1 = a_1 \), \(\displaystyle a_n =  \frac{2n^3 − 9n^2 + 19n − 6}{6}\), 答え: \(\color{red}{\displaystyle a_n = \frac{2n^3 − 9n^2 + 19n − 6}{6}}\), \(a_1 = 1\), \(a_{n + 1} = a_n + 2^n − 2n\), \(a_{n + 1} − a_n = 2^n − 2n = b_n\) とみると、階差型の漸化式ですね。, 数列 \(\{a_n\}\) は一般項 \(b_n = 2^n − 2n\) の階差数列をもつ。, \(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2^k − 2k) \\ &= 1 + \frac{2(2^{n − 1} − 1)}{2 − 1} − 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n \\ &= 1 + 2^n − 2 − n^2 + n \\ &= 2^n − n^2 + n − 1 \end{align}\), 答え: \(\color{red}{a_n = 2^n − n^2 + n − 1}\).

S_3=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\}^2$ 3.振動する $S_1=\displaystyle\sum_{k=1}^nk=\dfrac{1}{2}n(n+1)\\, $f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$, $a_na_{n-k}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\lfloor k/2\rfloor}a_{n-i}a_{n-k+i}$, $a_n=\dfrac{1}{24}(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)$. 任意の正の整数は「連続しない」フィボナッチ数の和で一意に表すことができる。, 数列の極限は, 初項 \(\bf{a_1}\) で、階差数列 \(\bf{b_n = f(n)}\) をもつ数列, \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n k = \frac{1}{2} n(n + 1)\), \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n k^2 = \frac{1}{6} n(n + 1)(2n + 1)\), \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n(n + 1) \right\}^2\), \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n ar^{k − 1} = \frac{a(1 − r^n)}{1 − r} = \frac{a(r^n − 1)}{r − 1}\). $p_n=p_{n-2}+p_{n-3}\:(n\geq 3)$ 1.(有限の値に)収束する 初期条件:$a_0=a_1=\cdots=a_{k-1}=1$ 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, $\dots$ で定義される数列をシルベスターの数列と言う, 漸化式の $a_n$ や $a_{n-1}$ の係数に $n$ が含まれている場合,両辺に何かしらかけたり割ったりして $f(n+1)a_{n+1}$ と $f(n)a_n$ を作り出せばうまくいくことが多い, $\displaystyle\sum_{k=1}^nf_k(x)$ を計算したいときに $b_{n+1}=Ca_n+Db_n$ $a_{n+1}=pa_n+f(n)$

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